Ejercicios de programación lineal Por Resolver

Ejercicios de programación lineal

1. Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L₁ y L₂. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L₁ y de 30 minutos para el L₂; y un trabajo de máquina para L₁ y de 10 minutos para L₂. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L₁ y L₂, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio.

2. Con el comienzo del año escolar se va a lanzar unas ofertas de material escolar; unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes les convienen poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio?

3. En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo?

4. Una empresa maderera compra en el lugar P, 50.000 metros cúbicos de madera y en el lugar G, 40.000 metros cúbicos. Esta madera la guarda en tres almacenes: A, con capacidad de 20.000 metros cúbicos, B con 30.000 metros cúbicos de capacidad y C con 46.000 metros cúbicos de capacidad. Llevar un (1) metro cúbico de madera desde los lugares de compra hasta cada uno de los almacenes, en pesos, viene indicado en la siguiente tabla:

	ALMACENES
LUGAR	A	B	C
P	6.000	11.000	10.000
G	8.000	12.000	14.000

¿A qué almacenes debe trasladar la madera comprada para que sean mínimos los costos?

5. Se dispone de 600 gramos de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 gramos y las pequeñas 30 gramos. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 € y la pequeña de 1 €. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?

6. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?

7. Una fábrica de adornos produce broches sencillos y broches de fiesta. Se obtiene un beneficio de 450 pesos por cada broche sencillo y 600 pesos por cada broche de fiesta. En un día no se pueden fabricar más de 400 broches sencillos ni más de 300 de fiesta, y tampoco pueden producirse más de 500 broches en total. Suponiendo que se logra vender toda la producción del día, ¿cuál es el número de broches de cada clase que conviene fabricar para obtener un beneficio máximo?  ¿Cuál debería ser la producción para obtener máximo beneficio si se obtuvieran 600 pesos por cada broche sencillo y 450 pesos por cada broche de fiesta?

8. Un concesionario de coches vende dos modelos; el A, con el que gana 100.000 dólares por unidad vendida, y el B, con el que gana 50.000 dólares por unidad vendida. El número de coches vendidos del modelo A debe verificar que 50 <= A <= 75. El número de coches vendidos del modelo B debe ser mayor o igual que el número de coches vendidos del modelo A. Sabiendo que el número máximo de coches que puede vender es 400, determina cuántos coches debe vender de cada modelo para que su beneficio sea máximo.

9. Una empresa tiene cuatro operarios para asignar a cuatro máquinas. Los costos de asignación en unidades monetarias se dan en la tabla siguiente:

	MAQUINAS
OPERADOR	1	2	3	4
1	5	5	-	2
2	7	4	2	3
3	9	3	5	-
4	7	2	6	7

El operador 1 no puede asignarse a la máquina 3; igualmente el operador 3 no puede asignarse a la máquina 4.

Encontrar la asignación óptima y el costo asociado.

10. Un cliente de un banco dispone de 3.000.000 de dólares para adquirir fondos de inversión. El banco le ofrece dos tipos de fondos,  A y B. El de tipo A tiene una rentabilidad del 12% y unas limitaciones legales de 1.200.000 dólares  de inversión máxima.  El de tipo B presenta una rentabilidad del  8% sin ninguna limitación; además este cliente desea invertir en los fondos de tipo B, como máximo, el doble de lo invertido en los fondos tipo A.

a) ¿Qué cantidad de dinero debe invertir en cada tipo de fondo para obtener un beneficio máximo?

b) ¿Cuál será el valor de dicho beneficio máximo?

11. Una fábrica produce confitura de albaricoque y confitura de ciruela. El doble de la producción de confitura de ciruela es menor o igual que la producción de confitura de albaricoque más 800 unidades. También, el triple de la producción de confitura de albaricoque más el doble de la producción de confitura de ciruela, es menor o igual que 2400 unidades. Cada unidad de confitura de albaricoque produce un beneficio de 6.000 pesos y cada unidad de confitura de ciruela, 8.000 pesos.

 ¿Cuántas unidades de cada tipo de confitura se han de producir para obtener un beneficio máximo?

12. El número de unidades de dos productos, A y B, que un comercio puede vender es, como máximo, igual a 100. Dispone de 60 unidades de producto tipo A, con un beneficio unitario de 250 pesos, y de 70 unidades tipo B, con un beneficio unitario de 300 pesos.

Determina las cantidades de productos tipo A y B que el comercio debe vender para maximizar sus beneficios globales.

13. Una empresa fabrica tres productos, P1, P2 y P3, en dos plantas, A y B. La planta A produce diariamente 1.000 unidades de P1, 3.000 unidades de P2 y 5.000 de P3. La planta B produce diariamente 2.000 unidades de cada uno de los tres productos. La empresa se ha comprometido a entregar a sus clientes, al menos, 80.000 unidades de P1, 160.000 de P2 y 200.000 de P3.

Sabiendo que el costo diario de producción es de 200.000 pesos. en cada planta, ¿cuántos días debe trabajar cada planta para que se cubran los objetivos comprometidos con el mínimo costo?

14. Un granjero tiene dos almacenes con borojó, A1 y A2, que contienen 20 toneladas y 12 toneladas respectivamente. Recibe encargos de tres clientes, C1, C2 y C3 de 8, 10 y 14 toneladas. La distancia entre los almacenes y los clientes (en kilómetros) se dan en la tabla siguiente:

	CLIENTES
ALMACENES	C1	C2	C3
A1	2	3	5
A2	6	2	4

Si el costo de transporte es una cantidad fija por kilómetro y tonelada. ¿Cómo tendrán que distribuirse los borojoes para minimizar el costo de transporte? Razona el planteamiento del problema.

15. Los alumnos de un instituto pretenden vender dos tipos de lotes, A y B, para sufragarse los gastos del viaje de estudios. Cada lote de tipo A consta de una caja de mantecados y cinco participaciones de lotería; y cada lote de tipo B consta de dos cajas de mantecados y dos participaciones de lotería. Por cada lote de tipo A vendido, los alumnos obtienen un beneficio de 1.225 pesos y, por cada lote de tipo B, de 1.250 pesos.

Por razones de almacenamiento, pueden disponer, a lo sumo, de 400 cajas de mantecados. Los alumnos sólo cuentan con 1200 participaciones de lotería y desean maximizar sus beneficios.

¿Cuántas unidades de cada tipo de lote deben vender los alumnos para que el beneficio obtenido sea máximo? Calcula dicho beneficio.

16. Un grupo musical va a lanzar su nuevo trabajo al mercado. La casa discográfica considera necesario realizar una campaña de publicidad, combinando dos posibilidades: anuncios en televisión, con un costo estimado de 1 millón de pesos por anuncio, y cuñas radiofónicas, con un costo estimado de 100.000 pesos por cuña; no obstante, no pueden gastar más de 100 millones de pesos para dicha campaña, a lo largo de la cual se tienen que emitir al menos 50 y no más de 100 cuñas.  Un estudio de mercado cifra en 10.000 el número de copias que se venderán por anuncio de televisión emitido, y en 2.000 copias por cuña radiofónica emitida.

a) ¿De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas podrá constar esta campaña?, plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones.

17. Una empresa se dedica a la producción de frascos de perfume y de agua de colonia a partir de tres factores productivos: F1, F2 y F3. Las unidades de dichos factores utilizadas en la producción de cada tipo de frasco se detallan en la siguiente tabla:

	Perfume	Agua de colonia
F1	1	2
F2	2	0
F3	0	4

Sabiendo que el precio de venta de un frasco de perfume es de 5.000 pesos, de uno de agua de colonia es de 2.000 pesos y que la empresa dispone de 240 unidades de F1, 360 de F2 y 440 de F3:

a) Calcula el número de frascos de cada tipo que debe fabricar la empresa para maximizar sus beneficios. Explica los pasos seguidos para obtener la respuesta.

b) ¿Se consumen todas las existencias de F1, F2 y F3 en la producción de los frascos que maximiza los beneficios?

15. Una empresa de instalaciones dispone de 195 kg de cobre, 20 kg de titanio y 14 kg de aluminio. Para fabricar 100 metros de cable de tipo A se necesitan 10 kg de cobre, 2 de titanio y 1 de aluminio, mientras que para fabricar 100 metros de cable de tipo B se necesitan 15 kg de cobre, 1 de titanio y 1 de aluminio. El beneficio que se obtiene por 100 metros de cable de tipo A es de 1500 euros, y por 100 metros de cable de tipo B, 1000 euros.

Calcular los metros de cable de cada tipo que hay que fabricar para maximizar el beneficio de la empresa. Obtener dicho beneficio máximo.

18. Una empresa está seleccionando empleados con contrato eventual por un año y con contrato fijo. El sueldo anual (en miles de euros) de cada empleado eventual es 8 y de cada empleado fijo 15. La empresa tiene un tope máximo de 480 (miles de euros) para pagar los sueldos anuales de los empleados que contrate. Los empleados fijos han de ser por lo menos 10, y no más de 24. Además, el número de eventuales no puede superar en más de 14 al de fijos.

a) ¿Que combinaciones de empleados fijos y eventuales se pueden contratar?; plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría contratar a 24 fijos y ningún eventual? 

b) Si el objetivo es contratar al mayor número total de empleados, ¿cuántos ha de contratar de cada tipo?

19. Una empresa fabrica dos calidades de un bien, teniendo que producir en total un mínimo de 100 unidades y un máximo de 200. El costo de producción de una unidad de la primera calidad es de 15 euros y se obtiene un beneficio unitario de 100 euros. El costo de producción de una unidad de la segunda calidad es de 10 euros y se obtiene un beneficio unitario de 50 euros.

a)   Plantee y resuelva un programa lineal para averiguar el costo total mínimo para obtener un beneficio total de al menos 12500 euros.

b)   Plantee y resuelva un programa lineal para averiguar el beneficio total máximo con un coste total no superior a 2550 euros.

20. Un establecimiento de prendas deportivas tiene almacenados 1600 bañadores, 1000 gafas de baño y 800 gorros de baño. Se quiere incentivar la compra de estos productos mediante la oferta de dos tipos de lotes: el lote A, que produce un beneficio de 8 euros, formado por un bañador, un gorro y unas gafas, y el lote B que produce un beneficio de 10 euros y está formado por dos bañadores y unas gafas.

Sabiendo que la publicidad de esta oferta tendrá un costo de 1.500 euros a deducir de los beneficios, se pide calcular el número de lotes A y B que harán máximo el beneficio y a cuánto asciende éste.

21. Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños: pequeño y grande. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de 1000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de 100 envases pequeños y 200 envases grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases pequeños. El costo de almacenaje es de 10 céntimos de euro para cada envase pequeño y de 20 céntimos de euro para cada envase grande. ¿Qué cantidad de cada tipo de envase proporciona el mínimo gasto de almacenaje? Obtener dicho mínimo.

22. Un organismo saca a concurso la ejecución de siete proyectos. Al concurso se presentan siete empresas constructoras con las ofertas (en 6000 euros) que se detallan en la tabla siguiente:

	PROYECTOS
CONSTRUCTOR	1	2	3	4	5	6	7
A	2	4	6	3	5	4	5
B	4	3	1	2	4	1	3
C	2	1	1	7	1	8	3
D	9	2	1	4	5	2	3
E	8	6	4	3	2	2	1
F	4	4	8	6	4	3	6
G	4	3	2	8	7	5	4

Cada empresa puede contratar tan sólo un único proyecto. ¿De qué manera deben asignarse a los constructores los proyectos de modo que el costo total de ejecución de los siete proyectos sea lo menor posible?

23. Una empresa fabrica dos tipos de tarjetas gráficas, de 16Mb y 32Mb de memoria, respectivamente. Se utilizan dos máquinas que emplean 2 minutos en fabricar las de 16Mb y 3 minutos en fabricar las de 32Mb. La cadena de montaje sólo puede funcionar, como máximo, 300 minutos diarios.

Además cada máquina tiene una capacidad máxima de fabricación diaria de 125 unidades, entre las cuales no puede haber más de 90 tarjetas de 16Mb ni más de 80 tarjetas de 32Mb, siendo el beneficio neto de las primeras de $45 y el de las segundas de $60.

¿Cuántas tarjetas de 16Mb y 32Mb debe fabricar diariamente cada máquina para que el beneficio sea máximo?

24. Una compañía aérea dispone de dos tipos de aviones A1 y A2 para cubrir un determinado trayecto. El avión A1 debe hacer más veces el trayecto que el avión A2 pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos, pero menos de 200. En cada vuelo, A1 consume 900 litros de combustible y A2 700 litros. En cada viaje del avión A1 la empresa gana $30.000 y $20.000 por cada viaje del avión A2.

a) ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de ganancias?

25. Un joyero fabrica dos tipos de anillos: los anillos A1 precisan 1 gramo de oro y 5 gramos de cobre vendiéndolos a $200 cada uno. Para los anillos tipo A2 emplea 1,5 gramos de oro y 1 gramo de cobre y los vende a $250. El joyero dispone en su taller de 750 gramos de cada metal.

¿Calcular cuántos anillos debe fabricar de cada clase para obtener el máximo beneficio?

26. Una empresa constructora dispone de dos tipos de camiones C1 y C2 y quiere transportar 100 toneladas de arena a una obra. Sabiendo que dispone de 6 camiones tipo C1 con capacidad para 15 toneladas y con un costo de 4.000 pesos por viaje y de 10 camiones tipo C2 con una capacidad de 5 toneladas y con un costo de 3.000 pesos por viaje.

a) ¿Cuál es el número posible de camiones que puede usar (gráficamente)?

b) ¿Cuál es el número posible de camiones que debe usar para que el costo sea mínimo?

c) ¿Cuál es el valor de dicho costo?